Ejercicios

Ejemplo 1:

Calcular los puntos de corte de los ejes con la recta:

a) ¿Cuál es la pendiente y la ordenada de la recta?

b) ¿El punto A(1, 2) es un punto de la recta?

La pendiente es el coeficiente de la $x$, es decir, $a=3$. La ordenada es el término independiente, es decir, $b=-1$.

Como la pendiente es positiva, la recta es creciente (de izquierda a derecha).

Puntos de corte con el eje OY:

La recta corta al eje OY cuando $x=0$. Sustituimos en la ecuación:

El punto de corte es $(0,-1)$.

Puntos de corte con el eje OX:

Ocurre cuando $y=0$. Sustituimos en la ecuación:

El punto de corte es $(1/3,0)$.

Sabiendo los puntos de corte, podemos representar la recta fácilmente.

La gráfica es

Si el punto A(1,2) está en la recta, entonces sus coordenadas deben cumplir la ecuación.

La primera coordenada del punto A es $x=1$ y la segunda es $y=2$. Sustituimos en la ecuación:

$$y=3x-1$$

$$2=3\cdot 1-1$$

$$2=2$$

Como se verifica la ecuación, el punto A(1,2) sí está en la recta.

Ejercicio 2

Calcular la recta que pasa por el punto A(7,7) y que tiene pendiente -3. ¿Pasa también por el origen?

La ecuación de la recta será de la forma

El coeficiente $a$ debe ser $a=-3$ puesto que la pendiente de la recta debe ser -3.

Como la recta pasa por el punto A, sus coordenadas verifican la ecuación. Sustituyendo en la ecuación obtenemos la ordenada $b$:

Por tanto, la ecuación de la recta es

Si la recta pasa por el origen, las coordenadas del orgien deben verificar la ecuación. Es decir, para $x=0$, debemos obtener $y=0$, pero obtenemos:

Así que la recta no pasa por el origen.

Ejercicio 3

Las siguientes rectas no son paralelas y, por tanto, se cortan en un punto. Calcular dicho punto:

Primero escribimos las ecuaciones en su forma general:

En efecto, como las pendientes son distintas (11 y 3), las rectas no son paralelas y, por tanto, se cortan en algún punto. Es decir, existe un valor de $x$ para el que ambas funciones valen lo mismo.

Para calcular el punto de intersección (punto común de las rectas), igualamos ambas ecuaciones y obtenemos una ecuación de primer grado:

Ahora calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el punto intersección (donde se cortan) es:

Las gráficas de las ecuaciones son:

https://www.matesfacil.com/ESO/rectasparabolas/problemas-resueltos-rectas-parabolas.html