DEFINICION

La paràbola es el lugar geomètrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de la recta fija llamda directriz.

d(f,p) = d(p,d)

Componentes:

• Foco.- Es el punto fijo f.
• Directriz.- Es la recta fija d.
• Paràmetro.- Es la distancia del foco a la directriz (p).
• Eje.- Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
• Vèrtice.- Es el punto de interseccion de la paràbola con su eje.
• Radio vector.- Es un segmento que une un punto cualquiera de la paràbola con el foco.

Simbólicamente:

P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}


Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora).

El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.

El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.

Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vèrtice son v(0,0) v(0,0), las del foco f(c,0) f(c,0) y la recta directriz està dadapor r:x = -c. las coordenadas de un punto genèrico QQ que pertenece a la directriz son (-c.y) (-c,y).

Por definicion:

                                                            d(p,r) =(p,f) d(p,r) = d(p,f)

Distancia entre el punto p y la directriz.

Distancia entre el punto p y el foco.

Igualamos:

Donde los vectores y sus mòdulos son:

                                        −−→PQ=(–c–x,0)PQ→=(–c–x,0)

                                        −−→PF=(c–x,–y)PF→=(c–x,–y)

                                                        

Ahora sustituyendo y operando llegamos a:

√c2+2cx+x2=√c2–2cx+x2+y2

c2+2cx+x2=c2–2cx+x2+y2

Y2 = 4CX      C ≠ 0 

La ecuación canónica de la parábola con V(0,0)V(0,0) y eje focal y=0y=0 (eje xx)

Donde:

c>0⇒c>0⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha.

c<0⇒c<0⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda.

Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la deducción para las parábolas con eje focal vertical. Si permutamos variables sobre la expresión canónica tenemos la expresión canónica de la parábola vertical:

X2 = 4CY   

Ecuación canónica de la parábola con V(0,0)V(0,0) y eje focal x=0x=0 (eje yy)

Donde:

c>0⇒c>0⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la arriba.

c<0⇒c<0⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo.

Coordenadas del foco: F(0,c)F(0,c)

Ecuación de la directriz d:y=–c

Ecuación ordinaria de la parábola

Consideremos una parábola cuyo vértice V(α,β)V(α,β) no coincide con el origen del sistema xyxy :

¿Cómo sería la ecuación de la parábola en el sistema de referencia xyxy? No sabemos responder esto por el momento. Pero si armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida con VV, la ecuación canónica en este nuevo sistema sería:

y′2=4cx′

Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la ecuación escrita en el sistema xy.

¿Qué coordenadas tiene el punto PP respecto de cada sistema?

El punto es el mismo pero estamos modificando el sistema de referencia:

·         Coordenadas de P en sistema x′y′  

 

·         Coordenadas de P en sistema xy

La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la siguiente:

x′+α=x

y′+β=y

O reordenando:

{x′=x–α

{y′=y–β

Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes. 

Si reemplazamos las ecuaciones d traslacion en la expresion Y2 = 4CX obtenemos la ecuacion en el sistema original:

(y–β)2=4c(x–α)

Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola con vértice V(α,β)V(α,β) y eje focal paralelo al eje xx.

Análogamente:

(x–α)2=4c(y–β)

Es la ecuación de la parábola con vértice V(α,β)V(α,β) y eje focal paralelo al eje yy.

¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u horizontal? Observando cuál de las variables está elevada al cuadrado:

·         Si y está al cuadrado, entonces es horizontal.

·         Si x está al cuadrado, entonces es vertical.

Lado recto

El lado recto es la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje focal y pasa por el foco. Se puede demostrar que la longitud del lado recto es |4c|.

            |LL′|=|4c|

Dejamos la demostración a cargo del lector interesado.

De ecuación ordinaria a ecuación general

Partimos de la ecuación ordinaria:

(y–β)2=4c(x–α)

Desarrollamos cuadrado de binomio:

y2–2βy+β2=4cx–4cα

y2–4cx–2βy+β2+4cα=0

Renombramos los coeficientes de la ecuación así:

y2+Dx+Ey+F=0

Ésta es la ecuación general. Observen que hay una única variable que está al cuadrado y la otra es lineal.

Les proponemos las siguientes preguntas:

·         Si E = 0, ¿dónde está ubicado el vértice?

·         ¿Cuál es la ecuación general de una parábola de eje vertical?

https://aga.frba.utn.edu.ar/parabola/

https://www.geoan.com/conicas/parabola.html